题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面面
;
(Ⅱ)过的平面交
于点
,若平面
把四面体
分成体积相等的两部分,求二面角
的余弦值.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】
(Ⅰ)由题意得到面
,从而
.又由题意证得四边形
为菱形,故得
,于是
平面
.根据面面垂直的判定定理可得结论成立.(Ⅱ)由题意得
为
中点,建立空间直角坐标系,求出平面
和平面
的法向量,根据两向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值.
(Ⅰ)证明:因为,则
,
又侧面底面
,平面
平面
,
平面
,
所以面
.
因为平面
,则
.
又因为,四边形
为平行四边形,
则,又
则为等边三角形,则四边形
为菱形,
所以.
又,
所以平面
.
又面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)由平面把四面体
分成体积相等的两部分,则
为
中点.
由(Ⅰ)知面
,且四边形
为菱形、
.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
.
设平面的法向量为
,
由,得
,
令,可得
.
同理,平面的法向量
.
所以.
由图形得二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】在“应用”的用户中随机抽取了100名用户进行调查得到如下数据:
每周使用时间 |
| |||||
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 6 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 8 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)在每周使用该“应用”时间不超过
的样本中,按性别分层抽样,随机抽取5名用户:
①求抽取的5名用户中男,女用户各多少人;
②从这5名用户中随机抽取2名用户,求抽取的2名用户均为男用户的概率.
(2)如果每周使用该“应用”超过
的用户认为“喜欢该应用”,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“喜欢该应用”与性别有关.
参考公式:,其中
下面的临界值表仅供参考:
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |