Question

20．现定义max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}$，若y，z＞0且M=max{$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$}，则M的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据二次函数的图象和性质，可得$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}•\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$≥$\frac{1}{2}$，当且仅当x=-1时，取得最小值，故$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$不可能都小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而得到M的最小值．

解答 解：$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}•\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$=$\frac{1}{\sqrt{（1-x）（3+x）}}$=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$=$\frac{1}{\sqrt{-（{x+1）}^{2}+4}}$≥$\frac{1}{2}$，
当且仅当x=-1时，取得最小值，
故$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$不可能都小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$至少有一个大于等于或等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故当$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$=$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，M取得最小值，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中分析两式的积$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}•\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$≥$\frac{1}{2}$，并正确理解其意义，是解答的关键．