题目内容
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,$BC=\frac{1}{2}AD=1$,$CD=\sqrt{3}$.(1)求证:平面MQB⊥平面PAD;
(2)若满足BM⊥PC,求异面直线AP与BM所成角的余弦值;
(3)若二面角M-BQ-C大小为30°,求QM的长.
分析 (1)证明QB⊥AD,根据平面PAD⊥平面ABCD可得BQ⊥平面PAD,即可证明平面MQB⊥平面PAD;
(2)确定PQ⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,求出$\overrightarrow{AP}=(-1,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{BM}=(-\frac{6}{7},-\frac{{\sqrt{3}}}{7},\frac{{\sqrt{3}}}{7})$,利用向量的夹角公式求异面直线AP与BM所成角的余弦值;
(3)根据二面角M-BQ-C大小为30°,利用向量的夹角公式,即可求QM的长.
解答 (1)证明:∵AD∥BC,BC=$\frac{1}{2}$AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,
∴CD∥BQ. …(1分)
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,…(2分)
∴BQ⊥平面PAD. …(3分)
∵BQ?平面MQB,
∴平面MQB⊥平面PAD. …(4分)
(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,
∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD. …(5分)
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则Q(0,0,0),A(1,0,0),$P(0,0,\sqrt{3})$,$B(0,\sqrt{3},0)$,$C(-1,\sqrt{3},0)$
由 $\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}=λ(-1,\sqrt{3},-\sqrt{3})$,且0≤λ≤1,得$M(-λ,\sqrt{3}λ,\sqrt{3}-\sqrt{3}λ)$
∵BM⊥PC,
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{PC}=(-λ,\sqrt{3}λ-\sqrt{3},\sqrt{3}-\sqrt{3}λ)•(-1,\sqrt{3},-\sqrt{3})=7λ-6=0$…(6分)
∴$\overrightarrow{AP}=(-1,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{BM}=(-\frac{6}{7},-\frac{{\sqrt{3}}}{7},\frac{{\sqrt{3}}}{7})$
设异面直线AP与BM所成角为θ,则cosθ=$|cos<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{BM}>|=|\frac{{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BM}}}{{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BM}|}}|$=$\frac{9}{84}\sqrt{42}$…(9分)
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为$\frac{9}{84}\sqrt{42}$…(10分),
(3)解:由(2)知平面BQC的法向量为$\overrightarrow n=(0,0,1)$…(11分)
由 $\overrightarrow{QM}=λ\overrightarrow{QP}+(1-λ)\overrightarrow{QC}$,且0≤λ≤1,得$\overrightarrow{QM}=(λ-1,\sqrt{3}(1-λ),\sqrt{3}λ)$
又$\overrightarrow{QB}=(0,\sqrt{3},0)$,
∴平面MBQ法向量为$\overrightarrow m=(\sqrt{3},0,\frac{1-λ}{λ})$. …(13分)
∵二面角M-BQ-C为30°,∴$cos{30°}=|\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴$λ=\frac{1}{2}$.∴|QM|=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…(15分)
点评 本题考查平面与平面垂直,考查异面直线AP与BM所成角的余弦值,考查二面角大小的确定,考查向量知识的运用,综合性强.
A. | (¬p)∨(¬p) | B. | ¬((¬p)∧(¬p)) | C. | (¬p)∧(¬p) | D. | ¬(p∨p) |
A. | {x|x<-7} | B. | {x|-7<x<1} | C. | {x|x>1} | D. | {x|x<-7或x>1} |
A. | 0.5 | B. | 1.5 | C. | 2.5 | D. | 3.5 |
A. | 甲、甲 | B. | 乙、甲 | C. | 甲、乙 | D. | 乙、乙 |
A. | -2-6i | B. | -2+2i | C. | 4+2i | D. | 4-6i |