Question

已知函数（且）．
(1) 试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
(2) 已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式；
(3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
(文) 记(2)中的函数的图像为曲线，试问曲线是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

(1) ①当时，函数的单调递增区间为及，
②当时，函数的单调递增区间为及，
③当时，函数的单调递增区间为及．
(2) ．                    
(3) （理）存在直线及为曲线的对称轴．          
（文）函数为奇函数，曲线为中心对称图形．

(1) ①当时，函数的单调递增区间为及，
②当时，函数的单调递增区间为及，
③当时，函数的单调递增区间为及．
（6分）
(2) 由题设及(1)中③知且，解得，            （9分）
因此函数解析式为．                    （10分）
(3) （理）假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴，显然、轴不是曲线的对称轴，故可设：（），
设为曲线上的任意一点，与关于直线对称，且
，，则也在曲线上，由此得，，
且，，                           （14分）
整理得，解得或，
所以存在直线及为曲线的对称轴．          （16分）
（文）该函数的定义域，曲线的对称中心为，
因为对任意，，
所以该函数为奇函数，曲线为中心对称图形．