题目内容
【题目】已知点A（0，﹣2），椭圆E： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 
，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】
（1）解：设F（c，0），由条件知 
，得 
又 
，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 
．
（2）解：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即 
时， 
从而 
又点O到直线PQ的距离 
，所以△OPQ的面积 
= 
，
设 
，则t＞0， 
，
当且仅当t=2，k=± 
等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】（1）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（2）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
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