题目内容
【题目】已知等差数列
的前
项和为
，
，
，数列
满足：
，
.
（1）求；
（2）求数列的通项公式及其前项和
；
（3）记集合
，若
的子集个数为32，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）根据条件列关于首项与公差的方程组，再代入等差数列前n项和公式即可，（2）根据叠乘法可得
，再根据错位相减法求和，（3）先确定
中的元素个数，再化简不等式并分离变量，转化研究对应数列
单调性，根据单调性确定结果.
（1）设数列
的公差为
，则
，解得
，所以
.
（2）由题意得
，
当
时，
，
又
也满足上式，故
，
故
①
②
①
②，得
故
.
（3）由题意得
，由（1）（2）知：
，
令
.
则
，
，
，
，
，
，
因为
.
所以当
时，
，
.
因为集合的子集个数为32，所以中的元素个数为5，
所以
的解的个数为5，
因为
，
故.
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