题目内容
【题目】已知标准方程下的椭圆的焦点在
轴上,且经过点
,它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.椭圆
的上顶点为
,过点
的直线交椭圆于
两点,连接
、
,记直线
的斜率分别为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求的值.
【答案】(1) ;(2) 见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由抛物线的焦点为,得到椭圆的两个焦点坐标为
,再根据椭圆的定义得到
,即可求得椭圆
的标准方程;
(2)由题意,设直线的方程为
,并代入椭圆方程,求得
,化简运算,即可求得
的值.
试题解析:
(1)设椭圆的标准方程为
,抛物线的焦点为
,所以该椭圆的两个焦点坐标为
,根据椭圆的定义有
,所以椭圆
的标准方程为
;
(2)由条件知,直线
的斜率存在.设直线
的方程为
,并代入椭圆方程,得
,且
,设点
,由根与系数的韦达定理得,
则,即为定值
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