题目内容
【题目】设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当 
时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
【答案】
（1）解：当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，
f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x | （﹣∞，0） | 0 | （0，ln2） | ln2 | （ln2，+∞） |
f'（x） | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）解：f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]， 
．
f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）
令φ（k）=k﹣ln（2k）， ， 
所以φ（k）在 
上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ 
，∴1﹣ln2≤φ（k）＜ 
＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x | （0，ln（2k）） | ln（2k） | （ln（2k），k） |
f'（x） | ﹣ | 0 | + |
f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
f（0）=﹣1，
f（k）﹣f（0）
=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）
=（k﹣1）ek﹣k3+1
=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）
=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）
=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]
∵ ，∴k﹣1≤0．
对任意的 ，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0
所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．
【解析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
