题目内容
【题目】已知
，函数
.
（1）当
时，解不等式
；
（2）设
，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由
，得
，解得
；（2）由
在
上单调递减.可得函数在区间
上的最大值与最小值分别为
，
等价于
，对任意
成立，只需令函数
在区间
的最小值不小于零，解不等式即可.
试题解析：（1）由，得，解得.
（2）当
时，
，
所以在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为.
即
，对任意成立.
因为
，所以函数在区间上单调递增，
时，
有最小值
，由
，得
，故
的取值范围为.
【方法点晴】本题主要考查函数的单调性、简单的指数方程以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数
恒成立(
可)或
恒成立（
即可）；② 数形结合(
图象在
上方即可)；③ 讨论最值
或
恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法③ 求得的取值范围的.
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