Question

【题目】已知函数f（x）=k﹣ （其中k为常数）；
（1）求：函数的定义域；
（2）证明：函数在区间（0，+∞）上为增函数；
（3）若函数为奇函数，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函数f（x）=k﹣ 有意义，显然，只需x≠0

∴该函数的定义域是{x∈R|x≠0}

（2）证明：证法一：在区间（0，+∞）上任取x1，x2且令0＜x1＜x2，

则：f（x1）﹣f（x2）=（ ）（ ）=

∵0＜x1＜x2，

∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

则函数f（x）在这个区间（0，+∞）上是增函数

证法二：∵f（x）=k﹣ ，

∴f′（x）= ，

当x∈（0，+∞）时，

f′（x）＞0恒成立，

所以函数f（x）在这个区间（0，+∞）上是增函数

（3）解：由（1）知，函数的定义域关于原点对称．

要使函数是奇函数，需要使f（﹣x）+f（x）=0

则，得：2k=0，即k=0

∴当k=0时，函数是奇函数

【解析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，可得函数的定义域；（2）证法一：任取x1 ， x2∈R，且0＜x1＜x2 ， 作差判断出f（x1）﹣f（x2）＜0，结合单调性的定义，可得：函数f（x）在R是增函数；
证法二：求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在R是增函数．（3）要使函数是奇函数，需要使f（﹣x）+f（x）=0，解得k值．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．