题目内容
【题目】已知函数f（x）= 
，且f（1）=﹣1．
（1）求f（x）的解析式，并判断它的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．
【答案】
（1）解：可求得a=﹣2，
f（x）= 
=﹣2x+ 
因为f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
且f（﹣x）=2x﹣ =﹣f（x），
所以f（x）是奇函数
（2）解：f（x）在（0，+∞）上的单调递减，
证明：设任意0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣2x1+ 
+2x2﹣ 
=（x2﹣x1）（2+ 
）
因为0＜x1＜x2 所以x2﹣x1＞0且2+ ＞0，
所以 f（x1）＞f（x2）
所以 f（x）在（0，+∞）上的单调递减
【解析】（1）将a=﹣2代入f（x），求出函数的定义域，得到f（﹣x）=﹣f（x），从而判断出函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
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