题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
为
上位于第一象限的任意一点，过点
的直线
交
于另一点
，交
轴的正半轴于点
.
（1）若当点
的横坐标为
，且
为等腰三角形，求
的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线
，若点
，记点
关于
轴的对称点为
交
轴于点
，且
，求证：点
的坐标为
，并求点
到直线
的距离
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】【试题分析】（1）可直接依据等腰三角形的几何特征建立方程求解；（2）先依据题条件建立直线的截距式方程，借助直线与抛物线的方程之间的关系，运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题获解：
解：(1) 由题知
，则
的中点坐标为
，则
，解得
，故
的方程为
.
(2) 依题可设直线
的方程为
，则
，由
消去
，得
， 
，设
的坐标为
，则
，由题知
，所以
，即
，显然
，所以
，即证
，由题知
为等腰直角三角形，所以
，即
，也即
，所以
，即
，又因为
，所以
，令
，易知
在
上是减函数，所以
.
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