Question

【题目】已知函数（）．

（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个相异极值点， ，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，
（2）函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1、x2，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．

试题解析：

（Ⅰ）由，恒有，即， 对任意成立，

记， ，

当， ， 单调递增；

当， ， 单调递减，

最大值为，

∴， ．

（Ⅱ）函数有两个相异的极值点， ，

即有两个不同的实数根．

①当时， 单调递增， 不可能有两个不同的实根；

②当时，设，则，

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减，

∴，∴，

不妨设，∵，

∴， ， ，

先证，即证，

即证，

令，即证，设，

则，函数在单调递减，

∴，∴，又，∴，

∴．