题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求函数
在区间
上的最大值；
（2）若
是函数
图像上不同的三点，且
，试判断
与
之间的大小关系，并证明．
【答案】（1）
；（2）
，证明见解析．
【解析】试题分析：（1）
，分三种情况讨论函数的单调性，进而分别求得其在
时的最大值； (2 )分别求出
与
用
表示，做差后得关于
的函数，利用导数证明其大于零即可得结果.因为
与
在函数图象上，所以把
和
的坐标分别代入函数解析式中得
试题解析：（1）
，
当
时， 
时， 
， 
，
当
时， 
时， 
， 
，
当
时，由
，得
， 
，又
，则有如下分类：
①当
，即
时， 
在
上是增函数，
所以
.
②当
，即
时， 
在
上是增函数，
在
上是减函数，
所以
③当
，即
时， 
在
上是减函数，
所以
综上，函数
在
上的最大值为
（2）
，
令
， 
， 
，
所以
在
上是增函数，又
，
当
时， 
， 
， 
，故
当
时， 
， 
， 
，故
综上知， 
.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数
的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数
的定义域；②对
求导；③令
，解不等式得
的范围就是递增区间；令
，解不等式得
的范围就是递减区间；④根据单调性求函数
的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
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