Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣lnx﹣1，g（x）=k（f（x）﹣x）+ ，（k∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）当1＜k＜3，x∈（1，e）时，求证：g（x）＞﹣ （1+ln3）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x﹣lnx﹣1，可得f′（x）=1﹣ ．

即有f（2）=1﹣ln2，f′（2）= ，

所以切线方程是y﹣（1﹣ln2）= （x﹣2），

即为y= x﹣ln2；

（2）解：由f（x）=x﹣lnx﹣1，

可得g（x）=k（f（x）﹣x）+ = ﹣klnx﹣k，

g′（x）=x﹣ = ，（x＞0），

①当k≤0时，g′（x）＞0．

可得g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；

②当k＞0时，令g′（x）＞0，得x＞ ；令g′（x）＜0，得0＜x＜ ．

所以g（x）的单调递增区间是（ ，+∞），单调递减区间是（0， ）

（3）证明：由（2）知，当1＜k＜3，x∈（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况如下图

x	（1， ）		（ ，e）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

所以g（x）的最小值是g（ ）=﹣ ﹣ lnk；

令h（k）=﹣ ﹣ lnk，可得h′（k）=﹣1﹣ lnk，

因为1＜k＜3，所以lnk＞0，

所以h′（k）＜0，

即有h（k）在（1，3）上单调递减．

则h（k）＞h（3）=﹣ ﹣ ln3．

当1＜k＜3，x∈（1，e）时，g（x）＞﹣ ﹣ ln3=﹣ （1+ln3）．

综上所述，当1＜k＜3，x∈（1，e）时，g（x）＞﹣ （1+ln3）

【解析】（1）求出函数的导数，切点坐标，斜率，运用点斜式方程即可求解切线方程；（2）求出g（x）的解析式，求得导数，通过①当k≤0时，②当k＞0时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意定义域；（3）通过（2），当1＜k＜3，x∈（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况，求出函数的极值、最值，构造函数h（k）=﹣ ﹣ lnk，求出导数，判断单调性，证明即可得到．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．