Question

【题目】已知四边形是矩形，，将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.

（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：平面；②若，，当BC取到最小值时，求k的值；

（2）当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由面面垂直的判定定理得平面平面ACD，从而，由线面垂直得，由矩形性质得，由此能证明平面．

作矩形ABMN，使得在MN上，设，，求出y，利用基本不等式，即可求出当BC取到最小值时，k的值；

作，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在的内部不包括边界，点O恰好在线段EF上，为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值的取值范围．

证明：点在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，

平面平面ACD，又，

平面，，

又，

平面．

作矩形ADMN，使得在MN上，

设，，则，

，∽，

，

在Rt中

，

当且仅当时取等号，y有最小值，；

作，交AC于E，交AD于F，

当点O恰好落在的内部不包括边界，点O恰好在线段EF上，

又，，

为二面角的平面角,

当时，由,可得，且，

，

故二面角的余弦值的取值范围为