题目内容
【题目】如图,椭圆:
的左、右焦点分别为
,
轴,直线
交
轴于
点,
,
为椭圆
上的动点,
的面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条直线与椭圆
分别交于
且使
轴,如图,问四边形
的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)定点坐标为
.
【解析】
(Ⅰ)意味着通径的一半
,
最大面积为
,所以
,故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)根据对称性,猜测定点必定在轴上,故可设
,
,则
,
,再设
,根据
三点共线可以得到
,联立直线
和椭圆的标准方程后消去
,利用韦达定理可以得到
,从而
过定点
,同理直线
也过
即两条直线交于定点
.
(Ⅰ)设,由题意可得
,即
.
∵是
的中位线,且
,
∴,即
,整理得
.①
又由题知,当在椭圆
的上顶点时,
的面积最大,
∴,整理得
,即
,②
联立①②可得,变形得
,解得
,进而
.
∴椭圆的方程式为
.
(Ⅱ)设,
,则由对称性可知
,
.
设直线与
轴交于点
,直线
的方程为
,
联立,消去
,得
,
∴,
,
由三点共线
,即
,
将,
代入整理得
,
即,从而
,化简得
,解得
,于是直线
的方程为
, 故直线
过定点
.同理可得
过定点
,
∴直线与
的交点是定点,定点坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下:
未发病 | 发病 | 总计 | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求列联表中的数据
,
,
,
的值;
(2)能够有多大把握认为疫苗有效?
(参考公式,
)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下
列联表:
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)在上述样本中从分数不少于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.
(下面的临界值表供参考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式 其中
)