题目内容
【题目】已知函数。
(1)讨论的单调性;
(2)若的最大值
,
存在最小值
,且
,求证:
。
【答案】(1)当时,
在
上单调递减,当
时,
在
单调递增,
在
单调递减;(2)证明见解析。
【解析】
试题分析:(1)先求,讨论
和
两种情况,分别令
得减区间,
得增区间;(2)由(1)可知
,且
,(
为
的极值点),由题设
,即
,将
代入上式,得
,则
。
试题解析:(1)由题设有,当
时,
在
上单调递减;
当时,列表如下:
0 | |||
递增 | 最大值 | 递减 |
可知,在
单调递增,在
单调递减;
(2)由题设有,
若,
在其定义域
上单调递增,无最小值,由(1)可知此时
无最大值,故而
令
,又
,
故唯一存在,使得
,即
,
列表如下
0 | |||
0 | |||
递减 | 最小值 | 递增 |
由(1)可知,且
,由题设
,即
,将
代入上式有
,化简得
。构造函数
,
,易知
为单调递增函数,又
,而当
,则唯一存在
,使得
,则当
递减,当
,
,
递增。又
,故
只会在
有解,而
,故(*)的解为
,则
。
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