Question

【题目】设函数。

（1）若存在最大值，且，求的取值范围。

（2）当时，试问方程是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）没有实根，理由见解析。

【解析】

试题分析：（1）先求出的定义域和导数，对分，和进行讨论，当时，函数有最大值，由得到关于的不等式，解之即可；（2）当时；方程可化为，即，再构造函数和，利用导数法求出它们的最值，即可判断方程有无实数根。

试题解析：（1）的定义域为，，当或时，在区间上单调，此时函数无最大值，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，函数有最大值，最大值，因为，所以有，解之得，所以的取值范围是。

（2）当时，方程可化为，即，设，则，∴时，，∴在上是减函数，当时，，∴在上是增函数，∴

设，则，∴当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；∴，∵，∴数形结合可得在区间上恒成立，∴方程没有实数根。