题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)是否存在及过原点的直线
,使得直线
与曲线
,
均相切?若存在,求
的值及直线
的方程;若不存在,请说明理由;
(2)若函数在区间
上是单调函数,求
的取值范围.
【答案】(1)存在及
:
,使得直线
与曲线
,
均相切;(2)
的取值范围是
.
【解析】
试题分析:对问题(1),根据导数的几何意义以及过原点的直线是曲线
,
的公切线,从而可求出直线
的方程以及
的值;对于问题(2),通过对函数
进行求导并结合对实数
的分类讨论即可求出
的取值范围.
试题解析:(1)∵,设曲线
在点
处切线过原点,则切线方程为
,
∵点在切线上,∴
,∴
,∴切线方程为
,设直线
与曲线
切于点
,∵
,∴
,
.
又∵,∴
,∴
,解得
,
∴.故存在
及
:
,使得直线
与曲线
,
均相切.
(2),
,
令,则
,易知
在
上单调递减,从而
.
①当时,即
时,
,
在区间
上单调递增,∵
,∴
在
上恒成立,即
在
上恒成立.
∴在区间
上单调递减,∴
满足题意.
②当时,即
时,
,当
且
时,
,故函数
存在唯一零点
,且
在
上单调递增,在
上单调递减,又∵
,∴
在
上单调递增.
注意到,∴
在
上单调递减,这与
在区间
上是单调函数矛盾,∴
不合题意.
综合①②得,的取值范围是
.
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