题目内容

8.已知△ABC的三边长为a、b、c,且其中任意两边长均不相等.若$\frac{1}{a}$,$\frac{1}{b}$,$\frac{1}{c}$成等差数列.
(Ⅰ)比较$\frac{b}{a}$与$\frac{c}{b}$的大小,并证明你的结论.
(Ⅱ)求证:B不可能是钝角.

分析 (Ⅰ)由条件可得$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$>2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$,可得$\frac{b}{a}$<$\frac{c}{b}$.
(2)由条件得到b2<ac,利用基本不等式变形,可得出cosB的范围,利用余弦函数的图象与性质,以及特殊角的三角函数值,根据B为三角形的内角,即可求出B的范围.

解答 (Ⅰ)解:∵△ABC的三边长为a、b、c,且其中任意两边长均不相等,$\frac{1}{a}$,$\frac{1}{b}$,$\frac{1}{c}$成等差数列,
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$>2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$.
∴b2<ac,
∴$\frac{b}{a}$<$\frac{c}{b}$.
(Ⅱ)证明:∵b2<ac,
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$>$\frac{1}{2}$,
∴B∈[0,$\frac{π}{3}$],
∴B不可能是钝角.

点评 此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及性质是解本题的关键,属于中档题.

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