Question

18．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，点P、M、N分别为BC₁、CC₁、AB₁的中点．
（1）求证：PN∥平面ABC；
（2）求证：A₁M⊥面AB₁C₁．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理证明即可．

解答 解（1）证明：连接CB₁，QP是BC₁的中点，
∴CB₁过点P，
QN为AB₁的中点，
∴PN∥AC，
又∵AC?面ABC，PN?面ABC，
∴PN∥平面ABC；
（2）证明：连结AC₁，连接AC₁，在直角△ABC中，
∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁ C₁=$\sqrt{3}$，

∵$\frac{{CC}_{1}}{{{A}_{1}C}_{1}}$=$\frac{{{A}_{1}C}_{1}}{{MC}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
∴RT△A₁C₁M∽RT△C₁CA，
∴∠AM₁C₁=∠CAC₁，
∴∠AC₁C+∠CAC₁=∠AC₁C+∠A₁MC₁=90°，
即AC₁⊥A₁M，
∵B₁C₁⊥C₁A₁，CC₁⊥B₁C₁，且C₁A₁∩CC₁=C₁，
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，
∴B₁C₁⊥A₁M，又AC₁∩B₁C₁=C₁，
故A₁M⊥平面AB₁C₁；

点评 本题考察了线面平行、线面垂直的判定定理，是一道中档题．