题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)a1=1.(2)an=3·2n-1-2
(1)当n=1时,T1=2S1-12.因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,解得a1=1.
(2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-
(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1, ①
所以Sn+1=2Sn+2n+1,②
②-①得an+1=2an+2.
所以an+1+2=2(an+2),即=2(n≥2). (*)
当n=1时,a1+2=3,a2+2=6,则=2.
所以,当n=1时,适合(*)式,所以{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列.
则an+2=3·2n-1,所以an=3·2n-1-2.
(2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-
(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1, ①
所以Sn+1=2Sn+2n+1,②
②-①得an+1=2an+2.
所以an+1+2=2(an+2),即=2(n≥2). (*)
当n=1时,a1+2=3,a2+2=6,则=2.
所以,当n=1时,适合(*)式,所以{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列.
则an+2=3·2n-1,所以an=3·2n-1-2.
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