Question

在正项等比数列{a_n}中，a₅＝，a₆＋a₇＝3.则满足a₁＋a₂＋…＋a_n>a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为________．

Answer 1

12

由已知条件得q＋q²＝3，即q²＋q－6＝0，解得q＝2，或q＝－3(舍去)，a_n＝a₅q^n－5＝×2^n－5＝2^n－6，a₁＋a₂＋…＋a_n＝ (2ⁿ－1)，a₁a₂…a_n＝2^－52^－42^－3…2^n－6＝2 ，由a₁＋a₂＋…＋a_n>a₁a₂…a_n，可知2^n－5－2^－5>2 ，由2^n－5>2 ，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，2⁸－2^－5<2¹³，所以n的最大值为12.