Question

12．已知△ABC的顶点坐标为A（1，1，1），B（2，2，2），C（3，2，4），则△ABC的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 利用空间向量求出$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角A的余弦值，再求出它的正弦值，从而计算△ABC的面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，1，3），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$
=$\frac{1×2+1×1+1×3}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}×\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}{+3}^{2}}}$
=$\frac{6}{\sqrt{3}×\sqrt{14}}$
=$\frac{6}{\sqrt{42}}$，
∴sinA=$\frac{1}{\sqrt{7}}$，
∴△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|×sinA
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{14}$×$\frac{1}{\sqrt{7}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了利用空间向量求模长与夹角的应用问题，也考查了三角形面积公式的应用问题，是基础题目．