题目内容

12.已知△ABC的顶点坐标为A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),则△ABC的面积是(  )
A.$\frac{\sqrt{6}}{4}$B.$\frac{\sqrt{7}}{2}$C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$

分析 利用空间向量求出$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角A的余弦值,再求出它的正弦值,从而计算△ABC的面积.

解答 解:∵$\overrightarrow{AB}$=(1,1,1),$\overrightarrow{AC}$=(2,1,3),
∴cos<$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$>=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$
=$\frac{1×2+1×1+1×3}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}×\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}{+3}^{2}}}$
=$\frac{6}{\sqrt{3}×\sqrt{14}}$
=$\frac{6}{\sqrt{42}}$,
∴sinA=$\frac{1}{\sqrt{7}}$,
∴△ABC的面积为
S△ABC=$\frac{1}{2}$×|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|×sinA
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{14}$×$\frac{1}{\sqrt{7}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
故选:C.

点评 本题考查了利用空间向量求模长与夹角的应用问题,也考查了三角形面积公式的应用问题,是基础题目.

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