已知向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=.t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.关于实数x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{(t-2)^{2}}{2}$.x2-3tx+2≤0的解集分别为M.N.且M∩N≠∅.求角θ的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（secθ，1），t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，关于实数x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$，x²-3tx+2（3t-2）≤0的解集分别为M，N，且M∩N≠∅，求角θ的取值范围．

分析利用数量积运算性质可得：t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=tanθ+1．由关于实数x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$，可得2t-2≤x≤t²-2t+2．当tanθ≠1时，M=[2tanθ，tan²θ+1]，当tanθ=1时，M={2}．由x²-3tx+2（3t-2）≤0，对t及tanθ分类讨论即可得出解集．通过分类讨论得到tanθ的取值范围．

解答解：t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθsecθ+1=tanθ+1，
关于实数x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$，∴$-\frac{（t-2）^{2}}{2}$+$\frac{{t}^{2}}{2}$≤x≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$+$\frac{{t}^{2}}{2}$．
化为2t-2≤x≤t²-2t+2．
∴当tanθ≠1时，M=[2tanθ，tan²θ+1]，
∴当tanθ=1时，M={2}．
由x²-3tx+2（3t-2）≤0，
当$t＞\frac{4}{3}$时，解得2≤x≤3t-2，
∴当tanθ＞$\frac{1}{3}$时，N=[2，3tanθ+1]；
当t=$\frac{4}{3}$即tanθ=$\frac{1}{3}$时，N={2}；
当t$＜\frac{4}{3}$，即tanθ＜$\frac{1}{3}$时，解得3t-2≤x≤2，因此N=[3tanθ+1，2]．
①当tanθ≥3时，∵tan²θ+1≥3tanθ+1，∴M∩N=[2tanθ，3tanθ+1]≠∅．
②当1＜tanθ＜3时，可得M∩N=[2tanθ，tan²θ+1]≠∅．
③当tanθ=1时，可得M∩N={2}≠∅．
④当$\frac{1}{3}$≤tanθ＜1时，可得M∩N=∅，舍去．
⑤当0＜tanθ＜$\frac{1}{3}$时，可得M∩N=∅，舍去．
⑥当tanθ=0时，可得M∩N={1}．
⑦当-1≤tanθ＜0时，可得M∩N=[2tanθ，tan²θ+1]≠∅．
⑧当tanθ＜-1时，可得M∩N=[2tanθ，2]≠∅．
综上可得：tanθ≥1或tanθ≤0．
∴角θ的取值范围为$（kπ-\frac{π}{2}，kπ]$∪$[kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{2}）$（k∈Z）．