Question

2．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，$\frac{5（sinA-sinC）}{sin（A+C）}=\frac{5sinB-8sinC}{sinA+sinC}$，点P为△ABC内任意一点，点P到三边的距离之和为d．
（1）求sinA的值；
（2）若a=3，c=5，求边b的长；
（3）在（2）的条件下，建立如图平面直角坐标系xOy，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简已知的式子，利用余弦定理求出cosA的值，根据内角的范围和平方关系求出sinA的值；
（2）由条件和余弦定理求出边b的值；
（3）设P（x，y），x、y＞0，点P到AB边的距离是h，由等积法求出h的式子，代入d进行化简，由题意和图象列出不等式组，利用简单的线性规划问题求出h的范围，即可求出d的取值范围．

解答 解：（1）由题意知，$\frac{5（sinA-sinC）}{sin（A+C）}=\frac{5sinB-8sinC}{sinA+sinC}$，
由正弦定理得，$\frac{5a-5c}{b}=\frac{5b-8c}{a+c}$，
∴5（b²+c²-a²）=8bc，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，
∵0＜A＜π，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$；
（2）把a=3、c=5代入5（b²+c²-a²）=8bc，
得5（b²+25-9）=40b，解得b=4；
（3）设P（x，y），x、y＞0，连接PA、PB、PC，
设点P到AB边的距离是h，
由等积法得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×4x+\frac{1}{2}×3y+\frac{1}{2}×5×h$，
则h=$\frac{-4x-3y+12}{5}$，
∴d=x+y+h=$\frac{x+2y+12}{5}$，
∵点P为△ABC内任意一点，且直线AB的方程是：4x+3y-12=0，
满足$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{4x+3y-12＜0}\end{array}\right.$，
令z=x+2y，则y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，
当y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z过点A（0，4）时，z取到最大值是8，
当y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z过点0（0，0）时，z取到最小值是0，
∴0＜x+2y＜8，则$\frac{12}{5}＜d＜4$，
即d的取值范围是（$\frac{12}{5}，4$）．

点评 本题考查正弦、余弦定理，平方关系和等积法的应用，以及简单的线性规划问题，注意内角的范围，属于中档题．