题目内容
(本小题满分12分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,⊥平面,,、分别是、的中点。
(Ⅰ)证明:⊥;
(Ⅱ)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
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(Ⅰ)证明:由四边形为菱形,,
可得为正三角形。因为为的中点,所以。 …………1分
又∥,因此。…………………………………………………2分
因为平面,平面,所以。 ………3分
而,所以平面。 ………………………………4分
又平面,所以。 ……………………………………5分
(Ⅱ)解:设,为上任意一点,连接、
由(Ⅰ)可知:平面,
则为与平面所成的角。……………………………………………6分
在中,,
所以当最短时,最大, ………………………………………………7分
即当时,最大,此时。
因此。又,所以,于是。 ……………………8分
因为⊥平面,平面,
所以平面平面。 …………………………………………9分
过作于,则由面面垂直的性质定理可知:平面,
过作于,连接,
则由三垂线定理可知:为二面角的平面角。 ……………………10分
在中,,
又是的中点,在中,
又 ………………………………11分
在中,
即二面角的余弦值为。 ………………………………12分
可得为正三角形。因为为的中点,所以。 …………1分
又∥,因此。…………………………………………………2分
因为平面,平面,所以。 ………3分
而,所以平面。 ………………………………4分
又平面,所以。 ……………………………………5分
(Ⅱ)解:设,为上任意一点,连接、
由(Ⅰ)可知:平面,
则为与平面所成的角。……………………………………………6分
在中,,
所以当最短时,最大, ………………………………………………7分
即当时,最大,此时。
因此。又,所以,于是。 ……………………8分
因为⊥平面,平面,
所以平面平面。 …………………………………………9分
过作于,则由面面垂直的性质定理可知:平面,
过作于,连接,
则由三垂线定理可知:为二面角的平面角。 ……………………10分
在中,,
又是的中点,在中,
又 ………………………………11分
在中,
即二面角的余弦值为。 ………………………………12分
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