题目内容

【题目】已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆过点,离心率为 是椭圆的长轴的两个端点(位于右侧),是椭圆在轴正半轴上的顶点.

1求椭圆的标准方程;

2)是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点,使得向量共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)不存在

【解析】试题分析:(1)依题意得解得 .

所以椭圆的方程为.(2)假设存在过点且斜率为的直线适合题意,则因为直线的方程为: ,于是联立方程, .由直线与椭圆交于不同两点知,

.令 ,由韦达定理得出结论, ,根据向量共线,可得 ,这与矛盾.

试题解析:

(1)设椭圆的方程为

.依题意得解得 .

所以椭圆的方程为.

(2)假设存在过点且斜率为的直线适合题意,则因为直线的方程为: ,于是联立方程, .

由直线与椭圆交于不同两点知,

.

由题知 .

从而,根据向量共线,可得 ,这与矛盾.

故不存在符合题意的直线.

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