题目内容
【题目】已知椭圆过点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若椭圆上存在点
、
关于直线
对称,求
的所有取值构成的集合
,并证明对于
,
的中点恒在一条定直线上.
【答案】()
.(
)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)因为 椭圆过点
,所以
.因为
, 所以
.所以椭圆
的方程为
;(Ⅱ)依题意得
.因为 椭圆
上存在点
关于直线
对称,所以 直线
与直线
垂直,且线段
的中点在直线
上.
设直线的方程为
.由
得
,由
得
①,
的中点坐标为
所以
,所以
代入①得
或
,所以
或
因为
,所以 对于
,线段
中点的纵坐标恒为
,即线段
的中点总在直线
上.
试题解析:(Ⅰ)因为 椭圆过点
,
所以. 1分
因为,
所以.
所以 椭圆的方程为
3分
(Ⅱ)方法一:
依题意得.
因为 椭圆上存在点
关于直线
对称,
所以 直线与直线
垂直,且线段
的中点在直线
上.
设直线的方程为
.
由得
. 5分
由,
得.(*)
因为, 7分
所以的中点坐标为
.
又线段的中点在直线
上,
所以.
所以. 9分
代入(*),得或
.
所以或
. 11分
因为,
所以 对于,线段
中点的纵坐标恒为
,即线段
的中点总在直线
上.
13分
方法二:
因为 点在直线
上,且
关于直线
对称,
所以,且
.
设(
),
的中点为
.
则. 6分
又在椭圆
上,
所以.
所以.
化简,得.
所以. 9分
又因为的中点在直线
上,
所以.
所以.
由可得
.
所以,或
,即
,或
.
所以或
.. 12分
所以 对于,线段
中点的纵坐标恒为
,即线段
的中点总在直线
上.
13分
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