Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若方程存在两个不同的实数根， ，证明： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）先求得函数的定义域为，由及对取值的讨论可得当时， 在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）设， ，可得， 。故原不等式可化为证，等价于。在此基础上，令，转化为证成立，构造函数，通过单调性可得不等式成立。

试题解析：

（1）函数的定义域为，

∵

∴.

①当时， ，故在区间上单调递增.

②当时，

则当时， ， 上单调递增；

当时， ， 上单调递减。

综上，当时， 在区间上单调递增；

当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（2）由方程存在两个不同的实数根， ，可设，

∵， ，

∴，

∴.

要证，只需证，等价于，

设，则上式转化为，

设，

则，

∴在上单调递增，

∴，

∴，

∴.