Question

5．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，根据定义域和值域均为[1，a]，列出方程组即可求得a值；
（2）由f（x）在区间（-∞，2]上是减函数得a≥2，由函数在区间[1，a+1]上总有f（x）≤0，可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（a+1）≤0\end{array}\right.$，解得a的取值范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是减函数，
又定义域和值域均为[1，a]，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a\\ f（a）=1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2a+5=a\\{a}^{2}-2{a}^{2}+5=1\end{array}\right.$，解得 a=2．
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，
∴a≥2，
又∵对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（a+1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2a+5≤0\\{（a+1）}^{2}-2a（a+1）+5≤0\end{array}\right.$
解得：a≥3，
综上所述，a≥3

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．