Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{b}$（sin$\frac{πx}{4}$，cos$\frac{πx}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$?
（1）求f（x）的单调递减区间?
（2）若函数g（x）=f（2-x），求当x∈[0，$\frac{4}{3}$]时，y=g（x）的最大值?

Answer 1

分析 （1）由数量积的坐标表示可得f（x），然后直接利用复合函数的单调性的求法求得f（x）的单调递减区间；
（2）由g（x）=f（2-x）求得g（x）的解析式，再由x∈[0，$\frac{4}{3}$]求出相位的范围，从而求得当x∈[0，$\frac{4}{3}$]时，y=g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{b}$（sin$\frac{πx}{4}$，cos$\frac{πx}{4}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{πx}{4}-\frac{3}{2}cos\frac{πx}{4}$=$\sqrt{3}sin（\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}）$．
∴当$\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ]$时，f（x）单调递减．
解得：$x∈[\frac{10}{3}+8k，\frac{22}{3}+8k]，k∈Z$，
∴f（x）的单调递减区间为$[\frac{10}{3}+8k，\frac{22}{3}+8k]，k∈Z$；
（2）由（1）可知$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}）$，
∴$g（x）=f（2-x）=\sqrt{3}sin[\frac{π（2-x）}{4}-\frac{π}{3}]$
=$\sqrt{3}sin[\frac{π}{2}-\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}]=\sqrt{3}cos（\frac{πx}{4}+\frac{π}{3}）$．
∵x∈[0，$\frac{4}{3}$]，
∴$\frac{πx}{4}+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴cos（$\frac{πx}{4}+\frac{π}{3}$）$∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
则当x=0时，$g（x）_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．