Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|= ， 当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．
当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞ ，∴ ＜x＜2．
当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x＞ 或x＜﹣6}．
（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，
只要﹣3≥t2﹣ t，即2t2﹣7t+6≤0，求得 ≤t≤2．
【解析】（Ⅰ）根据函数f（x）= ，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣ ，求得实数t的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．