Question

【题目】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

Answer 1

【答案】(1) AM的方程为或.

(2)证明见解析.

【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；

(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.

详解：（1）由已知得，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为或.

所以AM的方程为或.

（2）当l与x轴重合时，.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，

则，直线MA，MB的斜率之和为.

由得

.

将代入得

.

所以，.

则.

从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.

综上，.