题目内容
已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a4a5=55,a3+a6=16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:
an-1=,an=(为正整数),
设数列{bn}的前项和,cn=(an+19)(Sn+50),数列{cn}前n项和为Tn,
求Tn的最小值
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:
an-1=,an=(为正整数),
设数列{bn}的前项和,cn=(an+19)(Sn+50),数列{cn}前n项和为Tn,
求Tn的最小值
(1)an="6n-19" (2)144
(1)a3+a6=16a4+a5=16
又a4a5=55,所以a4=5,a5=11,所以d=6
所以等差数列{an}的通项公式an=6n-19
(2)当n=1时,S1=b1=2a1=-26
当n≥2时,
∵an-an-1=,∴bn=6·2n
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=-26+b2+b3+…+bn=-50+6·2n+1
检验知:Sn=-50+6·2n+1对为任意正整数时皆成立.
∵cn=(an+19)(Sn+50)=72n·2n
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn……①
∴2Tn=2c1+2c2+2c3+…+2cn……②
①-②得
-Tn=c1+72·22+72·23+72·24+…+72·2n-72n·2n+1
=72·2+72·22+72·23+72·24+…+72·2n-72n·2n+1
=72(2+22+23+24+…+2n)-72n·2n+1
=144(2n-1)-72n·2n+1
∴Tn=144(n-1)2n+144
∵Tn为递增数列,
∴n=1时, Tn=T1=144最小
∴Tn的最小值为144
又a4a5=55,所以a4=5,a5=11,所以d=6
所以等差数列{an}的通项公式an=6n-19
(2)当n=1时,S1=b1=2a1=-26
当n≥2时,
∵an-an-1=,∴bn=6·2n
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=-26+b2+b3+…+bn=-50+6·2n+1
检验知:Sn=-50+6·2n+1对为任意正整数时皆成立.
∵cn=(an+19)(Sn+50)=72n·2n
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn……①
∴2Tn=2c1+2c2+2c3+…+2cn……②
①-②得
-Tn=c1+72·22+72·23+72·24+…+72·2n-72n·2n+1
=72·2+72·22+72·23+72·24+…+72·2n-72n·2n+1
=72(2+22+23+24+…+2n)-72n·2n+1
=144(2n-1)-72n·2n+1
∴Tn=144(n-1)2n+144
∵Tn为递增数列,
∴n=1时, Tn=T1=144最小
∴Tn的最小值为144
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