题目内容
（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足
，且a1，a2+5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有
．
，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有
．（1）1 （2）an=3n﹣2n （3）见解析
（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，
令n=1得：2S1=a2﹣22+1，
令n=2得：2S2=a3﹣23+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，
得an+2=3an+1+2n+1，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，
∴an+2n=3n，
∴an=3n﹣2n；
（3）（法一）
∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1
∴
≤
，
∴
+
+
+…+≤1+
+
+…+
=
＜
；
（法二）∵an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an，
∴
＜
•
，，
当n≥2时，
＜•
，
＜
•
，
，
…
＜•
，
累乘得：
＜
•
，
∴
++
+…+
≤1+
+
×+…+
×＜
＜
．
令n=1得：2S1=a2﹣22+1，
令n=2得：2S2=a3﹣23+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，
得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，
∴an+2n=3n，
∴an=3n﹣2n；
（3）（法一）
∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1
∴
≤，∴
+++…+≤1+++…+=＜；（法二）∵an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an，
∴
＜•，，当n≥2时，
＜•，＜•，，…
＜•，累乘得：
＜•，∴
+++…+≤1++×+…+×＜＜．
练习册系列答案
相关题目
中，其前
项和为
，且
.
，
，求证：
；
为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数
，不等式
都成立，求实数
a3,2a2成等差数列，则
＝( )
满足
，向量
，
且
.
为等差数列，并求
，若对任意
都有
成立，求实数
的取值范围.
中，
，
，则公差
_____；
____.
满足：
.
；
，求数列
的前
和
.
，an=
（
为正整数），
，cn=(an+19)(Sn+50),数列{cn}前n项和为Tn，