题目内容
(2012•广东)设数列{an}的前n项和为Sn,满足,且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(1)1 (2)an=3n﹣2n (3)见解析
(1)在2Sn=an+1﹣2n+1+1中,
令n=1得:2S1=a2﹣22+1,
令n=2得:2S2=a3﹣23+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)由2Sn=an+1﹣2n+1+1,
得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
∴an+2n=3n,
∴an=3n﹣2n;
(3)(法一)
∵an=3n﹣2n=(3﹣2)(3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1)≥3n﹣1
∴≤,
∴+++…+≤1+++…+=<;
(法二)∵an+1=3n+1﹣2n+1>2×3n﹣2n+1=2an,
∴<•,,
当n≥2时,<•,<•,,
…<•,
累乘得:<•,
∴+++…+≤1++×+…+×<<.
令n=1得:2S1=a2﹣22+1,
令n=2得:2S2=a3﹣23+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)由2Sn=an+1﹣2n+1+1,
得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
∴an+2n=3n,
∴an=3n﹣2n;
(3)(法一)
∵an=3n﹣2n=(3﹣2)(3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1)≥3n﹣1
∴≤,
∴+++…+≤1+++…+=<;
(法二)∵an+1=3n+1﹣2n+1>2×3n﹣2n+1=2an,
∴<•,,
当n≥2时,<•,<•,,
…<•,
累乘得:<•,
∴+++…+≤1++×+…+×<<.
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