题目内容
11．若定义在[1，16]上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4-8\left|{x-\left.{\frac{3}{2}}\right|}\right.\;，\;1≤x≤2\\ \frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）\;\;\;\;\;，\;2＜x≤16\end{array}$，则下列结论中错误的是（ ）| A． | 函数f（x）的值域为[0，4] | B． | 函数f（x）在[8，12]单调递增 | ||
| C． | 关于x的方程2f（x）-1=0有6个根 | D． | 不等式xf（x）≤6恒成立 |
分析 把x分段化简分段函数的解析式，得到在每一区间段内函数都是一次函数，画出图象，由图可得答案．
解答 
解：当1≤x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）=4+8（x-$\frac{3}{2}$）=8x-8；
当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，f（x）=4-8（x-$\frac{3}{2}$）=-8x+16．
当2＜x≤3时，1＜$\frac{x}{2}$≤$\frac{3}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$（8×$\frac{x}{2}$-8）=2x-4；
当3＜x≤4时，$\frac{3}{2}$＜$\frac{x}{2}$≤2，f（x）=$\frac{1}{2}$（-8×$\frac{x}{2}$+16）=-2x+8．
当4＜x≤6时，2＜$\frac{x}{2}$≤3，f（x）=$\frac{1}{2}$（2×$\frac{x}{2}$-4）=$\frac{1}{2}$x-2；
当6＜x≤8时，3＜$\frac{x}{2}$≤4，f（x）=$\frac{1}{2}$（-2×$\frac{x}{2}$+8）=-$\frac{1}{2}$x+4．…．
画出函数f（x）的图象，由图象可知：
函数f（x）的值域为[0，4]，A正确；
函数f（x）在[8，12]单调递增，B正确；
关于x的方程2f（x）-1=0有7个根，C错误；
当1≤x≤$\frac{3}{2}$时，xf（x）=x（8x-8）=8x2-8x=$8（x-\frac{1}{2}）^{2}-2$，当x=$\frac{3}{2}$时有最大值6；
当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，xf（x）=x（-8x+16）=-8x2+16x=-8（x-1）2+8，当x=x=$\frac{3}{2}$时有最大值6．
…
∴不等式xf（x）≤6恒成立，D正确．
故选：C．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了分段函数解析式的求法，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．
| A． | 奇函数 | B． | 偶函数 | ||
| C． | 非奇非偶函数 | D． | 既是奇函数也是偶函数 |