题目内容
【题目】已知函数.
(1)当,求证
;
(2)若函数有两个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)将代入函数解析式,之后对函数求导,得到其单调性,从而求得其最小值为
,从而证得结果.
(2)通过时,
时,利用函数的单调性结合函数的零点,列出不等式即可求解
的取值范围,也可以构造新函数,结合函数图象的走向得到结果.
(1)证明:当时,
,
得,
知在
递减,在
递增,
,
综上知,当时,
.
(2)法1:,,即
,
令,则
,
知在
递增,在
递减,注意到
,
当时,
;当
时,
,
且,
由函数有
个零点,
即直线与函数
图像有两个交点,得
.
法2:由得,
,
当时,
,知
在
上递减,不满足题意;
当时,
,知
在
递减,在
递增.
,
的零点个数为
,即
,
综上,若函数有两个零点,则.
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