题目内容
【题目】如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,
,
,M是
的中点,
是
的中点,点
在
上,且满足
.
(1)证明:.
(2)当取何值时,直线
与平面
所成的角
最大?并求该角最大值的正切值.
(3)若平面与平面
所成的二面角为
,试确定P点的位置.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)以AB,AC,分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
,求出各点的坐标及对应向量的坐标,易判断
,即
;(2)设出平面ABC的一个法向量,我们易表达出
,然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系,求出满足条件的
值,进而求出此时
的正线值;(3)平面PMN与平面ABC所成的二面角为
,则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为
,代入向量夹角公式,可以构造一个关于
的方程,解方程即可求出对应
值,进而确定出满足条件的点P的位置.
(1)证明:如图,以AB,AC,分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
从而,
,
,
所以.
(2)平面ABC的一个法向量为,
则(※).
而,当
最大时,
最大,
无意义,
除外,
由(※)式,当时,
,
.
(3)平面ABC的一个法向量为.
设平面PMN的一个法向量为,
由(1)得.
由得
,
解得,令
,得
,
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为,
∴,
解得.
故点P在的延长线上,且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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