Question

【题目】如图，在直角梯形中，，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设.

(1)当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；

(2)当为多少时，三棱锥的体积为?

(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角,问E点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE折起后间距离最短

【解析】

（1）取PA的中点E，连结OE，BE，则∠BOP为PC，BD所成的角，先证 PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出的三边长，使用余弦定理求出，进而可得角；（2）P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式求出得出θ的值；（3）设，则，根据定理可得化简，故而当时，间的距离最短，故而可得结论.

（1）∵AB∥CD，，，∴四边形ABCD是矩形，

连结AC交BD与O，则O是AC，BD的中点，

取PA的中点E，连结OE，BE，

则OE是的中位线，∴，，

∴是异面直线PC，BD所成的角，

∵，，，

∴平面ABCD，

∴，，

，

∴，

∴．

即异面直线PC与BD所成的角为．

（2）P到平面ABCD的距离，

，

∴，

∴，

∴或.

（3）设，则，折起后平面平面AECD，

则为直线与平面AECD所成的角.

于是，

要使最短，则折起后应最小，最大，

∴当即时，最大，

此时最短，

即当时，沿AE折起后间距离最短.