Question

【题目】已知x＝1是函数f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．

（1）求m与n的关系表达式；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）m＜0．

【解析】

（1）求出f′（x），因为x＝1是函数的极值点，所以得到f'（1）＝0求出m与n的关系式；

（2）令f′（x）＝0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；

（3）由题意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，当x≠1时g（t）＝t，求出g（t）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围．

（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．

因为x＝1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．

所以n＝3m+6．

（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]

当m＜0时，有1＞1，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．

（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，

∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）

①x＝1时．（*）式化为0＜1恒成立．

∴m＜0．

②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．

（*）式化为（x﹣1）．

令t＝x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）＝t，

则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．

由（*）式恒成立，必有m，又m＜0．∴m＜0．

综上①②知m＜0．