Question

【题目】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点，的直线的距离是．

1求椭圆的方程；

2设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

1由抛物线的焦点坐标求得，结合隐含条件得到，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；2联立直线方程和椭圆方程，消去y得到，由判别式等于0整理得到，代入求得P的坐标，然后写出直线方程为，联立方程组，求得，即说明点Q在定直线上．

1由抛物线的焦点坐标为，得，

因此，

直线AB：，即．

原点O到直线AB的距离为，

联立，解得：，，

椭圆C的方程为；

2由，得方程，

由直线与椭圆相切，得且，

整理得：，

将，即代入式，得，

即，解得，，

又，，则，

直线方程为，

联立方程组，得，

点Q在定直线上．