Question

设C₁、C₂、…、C_n、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n＋1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．

(1)证明：{r_n}为等比数列；
(2)设r₁＝1，求数列的前n项和.

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：将直线y＝x的倾斜角记为θ，则有tanθ＝，sinθ＝.
设C_n的圆心为(λ_n，0)，则由题意得＝，得λ_n＝2r_n；同理λ_n＋1＝2r_n＋1，从而λ_n＋1＝λ_n＋r_n＋r_n＋1＝2r_n＋1，将λ_n＝2r_n代入，解得r_n＋1＝3r_n，故{r_n}为公比q＝3的等比数列．
(2)解：由于r_n＝1，q＝3，故r_n＝3^n－1，从而＝n×3^1－n，
记S_n＝＋＋…＋，则有S_n＝1＋2×3^－1＋3×3^－2＋…＋n×3^1－n，①
＝1×3^－1＋2×3^－2＋…＋(n－1)×3^1－n＋n×3^－n，②
①－②，得＝1＋3^－1＋3^－2＋…＋3^1－n－n×3^－n＝－n×3^－n＝×3^－n，
∴S_n＝×3^1－n＝.