题目内容

将函数f(x)=sinx·sin(x+2)·sin(x+3)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an} (n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=sinansinan+1sinan+2,求证:bn=(n=1,2,3,…).
(1)an=+(n-1)·=,(n=1,2,3,…)(2)证明见解析
(1)解 ∵f(x)=sinx·sin(x+)·sin(x+)
=sin·cosx
=-sinx·cosx=-sin3x
∴f(x)的极值点为x=+,k∈Z,从而它在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项,为公差的等差数列,
∴an=+(n-1)·=,(n=1,2,3,…).
(2)证明 由an=知对任意正整数n,an都不是的整数倍.
所以sinan≠0,从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0.
于是==
==-1.
又b1=sin·sin·sin=,
{bn}是以为首项,-1为公比的等比数列.
∴bn=(n=1,2,3,…).
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