题目内容
【题目】从
年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
和平均温度
有关，现收集了以往某地的
组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度 |
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平均产卵数 |
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表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
（其中
为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为
.
①记该地今后
年中，恰好需要
次人工防治的概率为
，求取得最大值时相应的概率
；
②根据①中的结论，当取最大值时，记该地今后
年中，需要人工防治的次数为
，求的数学期望和方差.
附：对于一组数据
、
、
、
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
，
.
【答案】（1）
更适宜；
；（2）①
；②
，
.
【解析】
（1）利用图象可得出更适宜作为平均产卵数
关于平均温度
的回归类型，对，两边取自然对数，求出
关于的回归方程，进而可得出关于的回归方程；
（2）①对函数
求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的
的值；
②由取最大值时对应的的值，得出
，由二项分布的数学期望和方差公式可得出
、
的值.
（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，
对两边取自然对数得
，令
，
，
，则
.
因为
，
，
所以，关于的回归方程为
，
所以，关于的回归方程为
；
（2）①由
，
，
且
，当
时，
；当
时，
.
所以，函数在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以，函数在
处取得极大值，亦即最大值，
；
②由①可知，当时，取最大值，
又
，则
，由题意可知
，
，
.
