Question

【题目】函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ）

A.当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0

B.当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0

C.对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点

D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y＝a 的交点问题．

选项A，当时，，，

所以，故切点为，，

所以切线斜率，

故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确.

选项B，当时，，，

恒成立，所以单调递增，

又,

,所以，即，所以

所以存在，使得，即

则在上，，在上，，

所以在上，单调递减，在上，单调递增.

所以存在唯一的极小值点.

,则，，所以B正确.

对于选项C、D，，

令，即 ，所以, 则令,

,令,得

由函数的图像性质可知:

时，，单调递减.

时，，单调递增.

所以时，取得极小值，

即当时取得极小值，

又,即

又因为在上单调递减，所以

所以时，取得极小值，

即当时取得极大值，

又，即

所以

当时，

所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.

当，即时，与的图象只有一个交点

即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.

故选：ABD
．