题目内容

3.如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点R,过焦点F作倾斜角为$\frac{2π}{3}$的直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为P,Q,则S△PAR:S△QBR的值等于$\frac{1}{9}$.

分析 求得抛物线的焦点和准线方程,运用定义可得|PA|=|AF|,|QB|=|BF|,|PR|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|,|QR|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|BF|,可得S△PAR:S△QBR=|AF|2:|BF|2.设出直线AB的参数方程,代入抛物线方程,求得t的值,即可得到所求比值.

解答 解:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为($\frac{p}{2}$,0),准线为x=-$\frac{p}{2}$,
由抛物线的定义可得|PA|=|AF|,|QB|=|BF|,
|PR|=|AF|sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|,|QR|═$\frac{\sqrt{3}}{2}$|BF|,
则S△PAR:S△QBR=$\frac{1}{2}$|PA|•|PR|:$\frac{1}{2}$|QB|•|QR|=|AF|2:|BF|2
设过F的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t为参数),
代入抛物线方程,可得$\frac{3}{4}$t2+pt-p2=0,
解得t1=-2p,t2=$\frac{2}{3}$p.(p>0),
即有|AF|:|BF|=$\frac{2}{3}$p:2P=1:3,
则有S△PAR:S△QBR=1:9.
故答案为:$\frac{1}{9}$.

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查定义法,以及面积公式,同时考查直线的参数方程的运用,属于中档题.

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