Question

13．已知xy=1且0＜y＜$\frac{1}{2}$，则$\frac{{{x^2}+16{y^2}}}{x-4y}$的最小值是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 xy=1，且O＜y＜$\frac{1}{2}$，可得x＞2，x-4y＞0．代入变形利用基本不等式的性质即可得出

解答 解：∵xy=1，且O＜y＜$\frac{1}{2}$，
∴x＞2，x-4y＞0
∴x＞$\frac{4}{x}$．
则 $\frac{{{x^2}+16{y^2}}}{x-4y}$=$\frac{{（x-4y）}^{2}+8xy}{x-4y}$=x-4y+$\frac{8}{x-4y}$≥2$\sqrt{（x-4y）•（\frac{8}{x-4y}）}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当x-4y=$\frac{8}{x-4y}$，xy=1时“=”成立，解得x=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，y=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．