题目内容
8.已知正三棱锥P-ABC,点P、A、B、C都在半径为$\sqrt{3}$的球面上,若PA、PB、PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为( )A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
分析 先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将所求距离转化为正方体中,中心到截面的距离问题,利用等体积法可实现此计算.
解答 解:∵正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,
∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O,
∵球O的半径为$\sqrt{3}$,
∴正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2,
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离,
设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$S△ABC×h=$\frac{1}{3}$S△PAB×PC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×2=$\frac{4}{3}$,
△ABC为边长为2$\sqrt{2}$的正三角形,S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×(2$\sqrt{2}$)2=2$\sqrt{3}$,
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为$\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故选:C.
点评 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化,棱柱的几何特征,球的几何特征,点到面的距离问题的解决技巧,有一定难度,属中档题.
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